کتاب آنالیز و شناسایی سیستم های تغییرناپذیر با زمان، سیستم های تغییرپذیر با زمان، و سیستم های چندتاخیره با استفاده از توابع متعامد ترکیبی

توضیحات

مقدمه

کتاب به بررسی مجموعه ی جدیدی از توابع متعامدی به نام “توابع ترکیبی” (HFs) می پردازد. این مجموعه در واقع ترکیبی از “توابع نگه” (SHFs) و “توابع مثلثی” (TFs) است که هر دو متعامد نیز هستند. مجموعه توابع ترکیبی به خوبی با روشی قطعه ای-خطی به توابع نزدیک شود.  برای این نقطه ی شروع، آنالیز ارائه شده بسیاری از جنبه های آنالیز و شناسایی سیستم های کنترل را بررسی می کنمد.

کاربرد تابع متعامد ثابت غیرسینوسی با توابع Walsh آغاز گردید که در سال 1922 توسط J.L. Walsh در کنفرانسی ارائه و سال بعد در مجله ی آمریکایی ریاضی چاپ شد.

از همان ابتدا ظاهر مجموعه توابع Walsh تا حد زیادی با توابع سینوسی-کسینوسی متفاوت بود چراکه آن شامل هیچگونه خطوط خمیده نمی شد!

با این حال، مجموعه توابع Walsh اولین نمونه از نوع خود نبودند. پیشگام آن مجموعه توابع Haar بودند که در سال 1910 پیشنهاد شد و به همان مجموعه توابع متعامدی قطعه ای-خطی تعلق دارد. با این حال، مجموعه توابع Haar برای سال ها نتوانست هیجانی ایجاد کند. اما با روی کار آمدن آنالیز موجک در دهه ی 1960، بخش گسترده تری از محققان مجموعه توابع Haar را مورد توجه قرار دادند که حال به عنوان اولین تابع موجک شناخته می شد.

برای دوره ای بیش از چهار دهه، توابع Walsh بخاطر کارکردهایش غیرفعال ماند. اما در اواسط دهه ی 1960 توجه بخش کوچکی از محققان را به خود جذب کرد.

طی 10 تا 15 سال بعد، مجموعه توابع Walsh  در بسیاری از حوزه های مهندسی برق مانند ارتباطات، حل تفاضل ها و معادلات انتگرالی، آنالیز سیستم های کنترل و شناسایی سیستم های کنترل و همچنین دیگر حوزه ها کارکردهای خود را یافت. با این حال، از ابتدای دهه ی 1980، توجه به سمت توابع بلوک پالس (BPFs) تغییر یافت. مجموعه توابع بلوک پالس همچنین متعامد و ثابت قطعه-خطی است. بعلاوه، این تابع از طریق تحول شباهت به توابع Walsh  و Haar مرتبط می باشد. این مجموعه توابع اساس ترین و ساده ترین توابع با پایه ثابت و قطعه ای-خطی بود. بر همین اساس، تعجبی نیست که توابع بلوک پالس تا به حال از شهرت متعادلی برخوردار بوده است.

در آخرین دهه از قرن بیستم و در اولین دهه از قرن بیست و یکم مجموعه توابع اندکی توسط انیش دب (Anish Deb) و همکارانش نیز ارائه شدند که همان مجموعه توابه نگه و مجموعه توابع مثلثی هستند (2003).

در سال 2010، انیش دب و همکارانش مجموعه ی جدید دیگری از توابع ترکیبی متعامدی خطی (HFs) را ارائه کردند. این مجموعه ی جدید قادر بود به روش قطعه ای-خطی به توابع زمانی مربع انتگرال شاخص Lebesgue نزدیک شود و بدون استفاده از فرمول سنتی انتگرال که برای دیگر گونه های تابع-محور متعامدی دیگر بکار می رفتند، از نمونه های تابع به عنوان ضریب گسترش استفاده کرد. در مقایسه با Walsh، تابع بلوک پالس و دیگر نمونه تابع ها ی تقریب با پایه ثابت، از مزیت بیشتری برخوردار بود چراکه آن بار محاسباتی را کاهش می داد. علاوه بر این، تقریب تابع ترکیبی محور در مقایسه با تقریب ها که بر اساس تابع با پایه ی ثابت بودند از میانگین خطای مربعات انتگرالی (MISE) کمتری برخوردار بود.

در فصل های اولیه ی کتاب، مباحث زیر  با جزئیات و نمونه های عددی فراوان مورد بحث قرار گرفتن:

• ویژگی های تابع ترکیبی و قوانین عملیاتی آن
• تقریب تابع و ارزیابی های خطا
• ادغام و افتراق با استفاده از ماتریس های عملیاتی دامنه ی توابع ترکیبی
• ماتریس های عملیاتی تک شات برای ادغام
• حل معادلات تفضیلی خطی
• پیچیدگی توابع زمانی

در بخش های دیگر کتاب به طور کلی آنالیز و ترکیب تعدادی از سیستم های کنترل زمانی متوالی خطی شامل سیستم های تغییرناپذیر با زمان، سیستم های تغییرپذیر با زمان و سیستم های چندتاخیره از هر دو نوع همگن و ناهمگن مورد بحث قرار می گیرند. و چه نتایج جالبی تکنیک دامنه ی توابع ترکیبی بدست آمورده است

در فصول بعدی، بحث های بررسی شده عبارت اند از:

• آنالیز سیستم های تغییرناپذیر و تغییرپذیر با زمان با استفاده از رویکرد حالت-فضا
• آنالیز سیستم های چندتاخیره با استفاده از رویکرد حالت-فضا
• آنالیز سیستم های تغییرناپذیر با زمان با استفاده از روش پیچیدگی
• شناسایی سیستم های تغییرپذیر و تغییرناپذیر با زمان درمحیط های حالت-فضا
• شناسایی سیستم های تغییرناپذیر با زمان با استفاده از عدم پیچیدگی
• و ارزیابی پارامتری و انتقال تابع از داده ی پاسخ ضربه

تمامی مباحث با نمونه های عددی مرتبط تقویت شده اند. و همچنین برای اینکه استفاده از کتاب راحت تر شود، بسیاری از برنامه های Matlab در انتهای کتاب پیوست شده است.

نوبت هم که باشه نوبت توابع ترکیبی و سه نویسنده است. اولین نویسنده کار خود را پیرامون این تابع در سال 2005 آغاز کرد و نویسنده سوم نیز دائما با او در ارتباط بود. نوسینده ی دوم نیز به مجموعه توابع ترکیبی علاقمند شد و در سال 2010 به دو نویسنده ی دیگر ملحق شد. سپس، پس از سال 2012 و در ادامه ی چاپ شدن چندین کتاب راجع به تابع ترکیبی، نویسنده ی اول در آرزوی کتابی بود که منحصرا به تابع های ترکیبی بپردازد و دو نویسنده ی دیگر نیز از این رویا حمایت کرده و به عملیات ملحق شدند.

سپس، هر سه دست در دست هم تلاش کردند تا این رویا به حقیقت بپیوندد. کار کردن با تابع ترکیبی تجربه خوبی بود و حس خوبی رو منتقل می کرد. اگرچه طی چند سال گذشته کار سنگین بخش مهم عملیات بوده است، هیچگاه نتوانست لذت آکادمیکی نویسندگان را از بین ببرد.

در نهایت، نویسندگان حمایت بخش فیزیک کاربردی دانشگاه کلکته را قدر دانسته و نوسینده ی دوم نیز از حمایت موسسه خود Budge Budge Institute of Technology طی آماده کردن کتاب قدردانی کردند. همچنین، از حمایت ها و کمک های دکتر آمیتاوا بیسواس، دانشیار بخش مهندسی برق آکادمی تکنولوژی در هوگلی هند نیز قدردانی می شود.